"Es gibt Augenblicke in unserem Leben, in denen Zeit und Raum tiefer werden und das Gefühl des Daseins sich unendlich ausdehnt"
                                                                                                                                         
Charles Baudelaire


2.0. Dimensionalität - Wahrnehmung

Zu Beginn der Überlegungen über die Wahrnehmung möglicher Extradimensionen möchte ich auf die Dimensionalität von geometrischen Objekten eingehen und wie sie im Euklidischen 3-Raum (im Sinne von „Raum unserer Wahrnehmung“) anschaulich beschrieben werden können. Die euklidische Geometrie ist „flach oder eben“ und ausreichend geeignet, Objekte der Alltagswahrnehmung geometrisch zu beschreiben.  

Jede Dimension (n) eröffnet (2n) Freiheitsgrade, sich in dieser Dimension zu bewegen: So kann ein Punkt in einer D1 nach links und rechts verschoben werden, in einer D2 nach oben und unten sowie in einer D3 zusätzlich nach vorne und hinten. Die euklidischebD3 verfügt damit insg. über 6 Freiheitsgrade.

Bei geometrischer Betrachtung des Begriffs „Dimension“ stößt man auf den Umstand, daß jeweils eine geometrische Dimension D(n) und eine sich anschließende höhere Dimension D(n+1) exakt orthogonal, also im rechten Winkel (90 Grad), zueinander ausgerichtet sind:

So steht beim Quadrat die zusätzliche Dimension der Breite (D2) im rechten Winkel zur Länge (D1).  Beim Würfel steht die Höhe (D3) orthogonal zur Fläche (D2) des Quadrats. Eine Gerade (D1) steht orthogonal zu einem Punkt (D0 - herzuleiten u.a. über eine Kreistangente, die rechtwinklig zum Kreisradius steht).

Als Beispiel soll nun ein massiver D3-Würfel mit Kantenlänge x,y,z = 1 dienen, der sich in einem kartesischen Koordinatensystem befindet und am Nullpunkt P (0,0,0) zentriert ist. Die Ausrichtung der Würfelseiten sei parallel zu den Achsen.

Abb. 2.1. Wahrnehmung eines D3-Würfels ohne (links) und mit (rechts) DLW-Effekt


Ein Beobachter A, der seine Position in D3 frei wählen kann, wird das geometrische Objekt aus nahezu jeder Position P (x, y, z) als D3-Würfel  erkennen können. Der Umstand der Orthogonalität der Dimensionen bedingt aber, daß bei geeigneter Wahl der Position nicht alle Dimensionen des betrachteten Objekts erkennbar sind: Hat Beobachter A eine Position eingenommen, die exakt orthogonal  zu einer beliebigen Seite des Würfels steht (z.B. 0,0,-z), ist für ihn ohne weitere Informationen nicht zu unterscheiden, ob es sich bei dem betrachteten Objekt um ein D2-Quadrat oder einen D3-Würfel handelt.

Gleiches gilt für einen hypothetischen Beobachter B, für dem man ad-hoc definiert, daß er maximal zwei Raumdimensionen (z.B. x, y) wahrnehmen kann. Egal welche Position P (x, y, z) man ihm im 3-Raum zuweist, er wird anstelle des Würfels nur ein Viereck, und bei geeigneter Wahl der Position P nur ein Quadrat wahrnehmen können - nicht aber einen D3-Würfel: Die Wahrnehmung des Beobachters B ist „dimensional limitiert“. Diesen Effekt nenne ich im weiteren Verlauf "dimensional limitierte Wahrnehmung" oder kurz DLW-Effekt.

Man kann festhalten, daß ein DLW-Effekt vorliegen kann, wenn

a) die Position des Beobachters ungünstig zur Ausrichtung des betrachteten Objekts ist,
b) sie ungünstig zur Ausrichtung der entsprechenden (höheren) Dimension ist, oder
c) der Beobachter selbst nur über eine dimensional limitierte Sinneswahrnehmung verfügt.


2.1. Hyperkuben der Dimensionalität (n)

Ein D3-Würfel setzt sich zusammen aus 6 Quadraten, also aus 6x 2D-Randflächen. Ein D2-Quadrat wiederum wird begrenzt durch 4x D1-Geraden. Eine D1-Gerade wird begrenzt durch 2 Punkte der Dimension D0. Zumindest für die ersten 3 Dimensionen scheint zu gelten, daß ein Objekt der Dimension D(n) aus 2n Objekten der Dimension D(n-1) besteht bzw. begrenzt wird.

Das Volumen eines D3-Würfel wird definiert durch / umschlossen von:


Abb. 2.2.  Die "Bauteile" eines D3-Würfels


Wie verhält es sich nun aber mit einem vierdimensionalen Würfel, also einem D4-Kubus ? Um Informationen über die Beschaffenheit von höherdimensionalen Objekten zu erhalten, kann das in der Mathematik oft angewandte „Permanenzprinzip“ helfen: Eine bestehende „Kausalkette“ wird in den zu erschließenden Bereich erweitert. Es wird also sinngemäß ein Pfad von bekanntem Boden auf unbekanntes Terrain gelegt, möglichst unter Beibehaltung der etablierten Logik. 

Unter Anwendung des Permanenzprinzips erhält man für die k-dimensionalen „Bauteile“ eines
n-dimensionalen Würfels (n-Kubus) die folgende Bildungslogik:



Wobei für den Binominalkoeffizienten und die Fakultät gilt:
                       

Dies angewandt, erhält man z.B. für die Anzahl der D3-Würfel eines D4-Kubus (n = 4 und k = 3):



Für die Dimensionen D1, D2 und D3 ergeben sich die oben bereits beschriebenen „Bauteile“. Für einen
D4-Kubus erhält man die Werte: 8x D3-Würfel, 24x D2-Quadrate und 32x D1-Kanten.

Für die Elemente von n-Kuben bis einschließlich D(n) = 5 ergibt sich:



Wie kann man nun diese Werte in Bezug auf eine hypothetische physikalische D4 auslegen ? Sollte es
eine vierte physikalische Raumdimension geben und sollte diese den Gesetzmäßigkeiten unseres wahrnehmbaren Raumes folgen, dann hätte ein D4-Kubus eine Oberfläche bestehend aus 8x D3-Würfeln bzw. 8x D3-Würfel würden einen D4-Kubus begrenzen, genau dergestalt, wie ein D3-Würfel durch 6x D2-Quadrate begrenzt wird.

Betrachtet man nur das Verhältnis der Volumen der Kuben D1-D3 (auch ein z.B. Quadrat ist ein Kubus)
zu ihren Umfängen/Oberflächen, so ist erkennbar, daß das Volumen D(n+1) des jeweiligen n-Kubus, durch die Elemente der Dimension D(n) komplett begrenzt ist. Das verwundert auch nicht, eine D3-Kugel ist z.B. ebenfalls von einer D2-Oberfläche komplett umschlossen.

Anders ausgedrückt:  

(T 2.1.A) Jedes Element D(n) hat vollen Kontakt zum höherdimensionalen Volumen D(n+1),
(T 2.1.B) die das Volumen D(n+1) begrenzen Elemente D(n) sind orthogonal zum
               Volumen D(n+1) ausgerichtet,
(T 2.1.C) die das Volumen D(n+1) begrenzenden Elemente überschneiden sich nicht.


Abb. 2.3. Verhältnisse Volumen zu Oberflächen von n-Kuben

2.2.  Wahrnehmung der D4

Warum ist das in meinen Augen interessant ? Es gibt m.M. nach Aufschluß darüber, wie wir in unserer Raumzeit mit wahrnehmbaren 3 Raumdimensionen eine hypothetische D4 (entfaltet oder kompaktifiziert) wahrnehmen würden: Die durch das Permanenzprinzip gegebenen Parameter (A) bis (C) lassen nämlich nur eine Kombination der 8x D3-Würfel zu - ein Würfel aus 8 Würfeln:  

Alle 8x D3-Würfel haben Kontakt zur D4 (jeweils eine Ecke des D3-Würfels), alle Kontaktflächen der Würfel 8x D3-Würfels (x, y, z) stehen orthogonal zur D4 und keiner der 8x D3-Würfel überlappt einen anderen. Der umschlossene Raum bzw. die D4 ist/erscheint uns als ein Objekt ohne räumliche Ausdehnung, im geometrischen Sinne als ein Punkt D0.

Dies bedeutet nicht, daß die D4 ein Punkt bzw. eine Singularität ist, es bedeutet nur, daß wir eine D4 geometrisch als Punkt D0 wahrnehmen. Ein D4-Kubus (genau wie eine D4-Sphäre) hat ein genau definiertes Volumen, welches unterschiedlich zu 0 ist. Dieses ist jedoch nicht in der Form visualisierbar, als daß man anhand der entstandenen Darstellung auf die Größe bzw. den Betrag des D4-Volumens rückschließen könnte. Das D4-Volumen kann in einem D3-Koordinatensystem nicht "abgelesen" werden.



Abb. 2.4. Geometrische Darstellung Raumpunkt: "Übergang" Bezugssystem D3 zu
                Bezugssystem D4


An dieser Stelle ein physikalischen Vorgriff: Im Folgenden sei das durch die 8x D3-Würfel defnierte Raumvolumen aus Abb. 2.4. ein isoliertes System. In diesem Raumvolumen sei eine bestimmte Menge massetragender Teilchen verteilt, die sich gegenseitig gravitativ anziehen und nach einer beliebig langen Zeitspanne sphärisch zusammenballen.  

Es fällt in diesem Zusammenhang auf, daß der Massenschwerpunkt der sich formierenden grünen Sphäre mit dem "Übergang" von der D3 zur D4 im durch die 8x D3 Würfel definierten Raumausschnitt, also dem Punkt D0, zusammenfällt. In dieser Darstellung sehe ich Parallelen zu realen astronomischen Objekten mit großmaßstäblich sphärischer Massenkonzentration, wie z.B. Planeten, Sternen oder Kugelsternhaufen.



Dies berücksichtigend erlaube ich mir bereits hier die Interpretation, daß die geometrische Wahrnehmung der D4 als Punkt D0 im physikalischen Sinne als Singularität zu werten ist und dies ein Indiz dafür ist, wie es um die reale Natur von Schwarzen Löchern bestellt ist: In der MBT sind astronomische Singularitäten dimensionale Übergänge von einem Bezugssystem D3 zu einem Bezugssystem D4.



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